Направление «Метод конечных элементов (МКЭ). Вычислительные методы в задачах математической физики»

Результаты 2019 года

Получены необходимые и достаточные условия вложенности конечно-элементных пространств, построенных на основе аппроксимационных соотношений. В связи с этим введено понятие обобщенной гладкости и сведено исследование гладкости конечного элемента к такому исследованию на границе его носителя. Исследована вложенность пространств МКЭ на вложенных подразделениях дифференцируемого многообразия.

Изучены апостериорные оценки погрешности приближенных решений для сингулярно возмущенных эллиптических уравнений, которые содержат энергетическую норму разности тестирующего потока и потока, соответствующего приближенному решению, и L2-норму невязки на тестирующем потоке. До самого последнего времени в работах по обширному классу оценок (не относящихся к оценкам, получаемым методом невязки) коэффициентом перед второй нормой служила постоянная типа постоянной из неравенства Фридрихса. Это на порядок понижало точность оценок. Изменив технику вывода, удалось уменьшить указанный коэффициент и привести порядок точности апостериорной оценки в соответствие с порядком точности приближенного решения. Одновременно существенно расширился круг задач, для которых применение апостериорных оценок эффективно, и упростилось вычисление оценок. Оценки нового типа были обоснованы для эллиптических уравнений 2-го порядка и порядка 2n, n>1, с произвольным неотрицательным постоянным и кусочно-постоянным коэффициентом реакции. Были получены новые оценки для задач с кусочно-постоянным коэффициентом реакции, изменяющимся хаотически между подобластями декомпозиции области в большом диапазоне.

Выполнено обоснование модели механики сплошной среды с включением закона сохранения момента количества движения и показано предпочтительность записи законов сохранения в интегральной форме при построении вычислительных методов.