Направление "Сплайны и вейвлеты. Разработка и реализация"

Результаты 2019 года

Рассмотрены вопросы гладкости и вложенности пространств сплайнов и пространств конечных элементов, получаемых из аппроксимационных соотношений. Использование аппроксимационных соотношений важно для получения качественного приближения интересующих функций. Вложенность пространств требуется при уточнении аппроксимации и интерполяции, при уточнении приближенного решения в методе конечных элементов и вариационно-сеточном методе, при построении многосеточных методов и вейвлетных разложений. Вложенность пространств позволяет использовать результаты, полученные на крупной сетке для аппроксимации на мелкой сетке, что ведет к экономии компьютерных ресурсов (памяти и времени счета) и ресурсов каналов связи (времени передачи и ширины каналов). Гладкость результата аппроксимации — весьма существенное требование, предъявляемое пользователями. В работах Ю.К.Демьяновича выявлена связь между этими двумя свойствами. Оказалось, что вложенность пространств появляется при выполнении требования максимальной гладкости сплайнового (конечно-элементного) аппарата. Поскольку гладкость таких аппроксимаций в многомерном случае скорее исключение, чем правило, приходится дать обобщение понятия гладкости. При этом предыдущий результат сохраняется, что позволяет отыскивать различные серии вложенных пространств. При этом удается рассмотреть, в частности, точечные особенности (разрывы функции или ее производных в отдельных точках), если удается ввести обобщенную гладкость, для которой упомянутые точки не представляются особыми.

Исследованы разложения фаберовского типа для пространств линейных сплайнов. Благодаря построению калибровочных соотношений для двукратно измельчающихся неравномерных сеток на отрезке, были построены ленивые вейвлеты и вейвлеты со смещенным носителем. Построены цветные базисные изображения, которые могут быть применены для ортогонального преобразования цветных изображений и для техники встраивания данных с использованием DWT-преобразований.

Проведены исследования поведения интегро-дифференциальных полиномиальных сплайнов четвертого-пятого порядка на равномерной сетке узлов. Проводились исследования обобщенной гладкости для сплайнов на q- покрытом многообразии, где q – натуральное число. Опираясь на понятие упомянутой гладкости, можно рассмотреть различные типы гладкости, например, интегральную гладкость, гладкость согласно метрике, гладкость производных и т. д., найти необходимые и достаточные условия для расчета базовых сплайнов с заранее заданной гладкостью. Упомянутая гладкость может содержать не более q (локально сформулированных) линейно независимых условий. Если число условий равно q, то обсуждаемые сплайн-пространства на вложенных сетках также вкладываются.